問題概要
※解説の都合上、0-indexedで表記します。
正整数 が与えられる。長さ
の非負整数列
が以下の性質を満たす時、これを「良い数列」であると呼ぶ。
に1つ以上含まれる任意の正整数
について、
かつ
かつ
であるインデックスの組
が存在する。
のそれぞれに対して、全ての良い数列について値
が登場する個数の合計値を
で求めよ。
制約
解法
全単射の構成とその証明
公式解説の初手が天才なので天下りの書き方になってしまいますが、良い数列を以下のように長さ の順列と一対一対応させます。
- 順列
について、隣り合う要素の間に大小関係に応じて
>
または<
を書き込む。 を「上記手順で
よりも左側にある
<
の個数」と定義する。このときは隣り合う要素の差が
または
の広義単調増加数列となる。
となるように数列
を構成する。
これが良い数列と正しく一対一対応している(全単射になっている)ことを証明します。以降の証明では、 と
のインデックスを
、
のインデックスを
と表記しています。
順列→良い数列
順列から数列は一意に構成されるので、構成されたものが良い数列であることを示します。
順列 に書き込んだ
<
のうち、左から 番目(
は
始まり)にある
<
を挟む2要素を考え、これらのインデックスを とします。このとき
<
が書かれていることから であり、かつ
の決め方から
と
です。よって
がそのまま良い数列を満たす条件に合う
のインデックスの組になります。
全ての <
の個数は に一致し、
の全てについて上記が成り立つので、
は良い数列です。
良い数列→順列
良い数列から元の順列が一意に復元できることを示します。
まずは中間の数列 を復元します。順列から生成される
は広義単調増加なので、これは即ち
をソートしたものになります。
ここで に値
が複数含まれる場合、
である
たちと、
である
たちがどう対応するかの選択肢があります。しかし不等号の条件に矛盾しないようにするとこの対応は一意に定まります。具体的には
として同じ値が並んでいるゾーンで
<
が出現してはいけないので、 はこのゾーン内で降順になっている必要があります。
そして降順になるように割り当てた場合、左から 番目の
<
を挟む箇所に存在している の要素を
とすると、これは「
である
の最小値」と「
である
の最大値」であり、
が良い数列であることから必ず
となります。
よって良い数列に対応する元の順列はちょうど つ存在することが示されました。
数え上げ
証明だけでかなりの行数を使ってしまいましたが、求めたいのは「全ての良い数列についての、値 が登場する個数の合計値」でした。良い数列
の代わりに、
通りの順列
全てから生成される
に対して数えることにします。
と
の組み合わせ
それぞれについて、
となるような順列
の個数が求められれば良いです。これはつまり、
以降の値の並びは
に関与しないので、まずは関与しない
個の要素を選んで並べる方法の数を求める。これは
通り。
- 残った
個の要素の並べ方であって、その中に
<
をちょうど個含むような方法の数を掛ける。
と求めることができます。
2.の値については、小さい値から処理していく挿入DPを用いて前計算することができます。具体的には、
値
を含む長さ
の順列であって、
<
をちょうど 個含むものの個数
と定義します。
からの遷移として、ここに値
を挿入することを考えます。このとき
- 先頭または既に
<
である隙間に挿入する:挿入箇所は通りで、
<
の個数は増えない。 - 末尾またはいま
>
である隙間に挿入する:挿入箇所は通りで、
<
が1個増える。
となるので、それぞれ係数を掛けて または
に遷移します。
これを前計算しておけば、先ほどの2.の値としてそのまま使えます。これで全体計算量 で答えを求めることができて、Easy Versionが通ります。