DISCO presents ディスカバリーチャンネルコードコンテスト2020 予選 E - Majority of Balls

解法

キーとなるのは以下の2つの気付きです。

$A_{1}, ..., A_{N}$ に対する質問の答えと $A_{N+1}, ..., A_{2N}$ に対する質問の答えは必ず異なる。片方が Red であればもう片方は Blue である。
もし「赤青が半々ずつ」ということが分かっている $N-1$ 個のボールの集合が得られたとすると、ここにもう1つのボールを入れて質問することでそのボールの色を特定できる。

1.の事実を利用して、2.の「赤青が半々ずつ」である $N-1$ 個のボールの集合を求めようとしてみましょう。

まず $A_{1}, ..., A_{N}$ に対する答えを質問します。これが Red だと仮定します。この集合から「 $A_{i}$ を抜いて $A_{i+N}$ を入れる」という操作を1つずつしていくと、最終的には $A_{N+1}, ..., A_{2N}$ になって答えは Blue になります。ということは、1個のボールの入れ替えで Red から Blue に変わる箇所が少なくとも1箇所あるはずです。

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このような箇所は二分探索で求めることができます。上図のように Red と Blue には単調性がありませんが、このような場合でも二分探索では「Red と Blueが隣り合う箇所をどこでもいいから1つだけ見つける」ことができます。

※逆の視点で書くと、元々二分探索のアルゴリズムができることは「ある判定の結果が左端＝A、右端＝Bだと分かっているときに、A, Bが隣り合っている箇所をどこでもいいから1つだけ見つける」ことです。さらにもし単調性がある場合にはこの箇所がただ1つであり、そこを境界にしてAとBが真っ二つに分かれるので、最大値・最小値を求めるために使える、というわけです。

この二分探索に必要な質問回数は、 $2^{7} = 128 \gt N$ であることから7回以下です。最初の1回と合わせて、残り202回。